В 1918 году закончил четырехлетку. Назар Константинович в 1929 году записался в организованный на хуторе колхоз «Заря коммунизма». Стал активным помощником председателя банкинского колхоза Тютюнника Николая Васильевича. В 1930 году ушел добровольцем в Красную Армию. Окончив полковую школу в городе Острогожске, служил помощником командира взвода, здесь же в 1931 году вступил в коммунистическую партию. Демобилизовавшись из рядов Красной Армии, в 1933 году прибыл в станицу Медведовскую Тимашевского района. Работал агротехником колхоза «15 лет РККА», председателем колхоза «20 лет Октября», инструктором военного отдела Тимашевского райкома партии.

С 26 августа 1941 года в РКК. Призван Тимошевским РВК Краснодарского края. Был мобилизован в 129 стрелковый полк 26-й запасной стрелковой дивизии в должности заместителя командира батальона. 

Закончил курсы «Выстрел». Служил заместителем командира, командиром стрелкового батальона 504 стрелкового полка 107-й стрелковой дивизии 60-й армии. 

22.01.1945 года на 1-м Украинском фронте был тяжело ранен. В 1945 году находился на лечении в госпитале № 5593. В сентябре 1945 года. Н.К. Еременко демобилизовался в должности командира строевого батальона в звании капитана. 

 Награжден орденом Отечественной войны 1-й степени, медалями. Герой Социалистического Труда, орденом Ленина, орденом Трудового Красного Знамени, орденом «Знак Почета», знак «Лучший свекловод», золотыми и серебряными медалями ВДНХ.

Вернулся на Кубань к семье. Работал заведующим отделом торговли Тимашевского райисполкома, с октября 1949 г. председателем колхоза «Путь Ленина», затем, после укрепления колхозов, в 1950 году возглавлял партийное бюро колхоза «Путь к коммунизму» в станице Медведовской. 4 февраля 1956 года Н.К. Еременко был избран председателем колхоза «Россия» станицы Медведовской Тимашевского района. 

Умер Н.К. Еременко 3 декабря 1974 года, похоронен в станице Медведовской. 

В 2003 году установлен бюст на Аллее Героев в поселке Вейделевка.