С 1927 по 1937 годы учился в средней школе. С ранних лет он занял активную жизненную позицию. Увлекался конструированием и моделированием. А когда был объявлен сбор средств на постройку самолета, с энтузиазмом взялся за это дело и стал одним из тех, кто больше всех собрал средств на строительство. Победители на самолете первыми поднялись в воздух, среди них был и Саша Шевцов. Впервые он оторвался от земли и на всю жизнь влюбился в безбрежный небесный океан. 

Решив навсегда связать свою жизнь с авиацией, еще будучи школьником, он становится курсантом Шебекинского аэроклуба, который действовал в городе. По комсомольскому набору поступил в Чугуевское военное авиационное училище летчиков и закончил его в 1940 году. 

С первых дней Великой Отечественной войны А. Г. Шевцов на фронте. 

22 июня 1941 года он провел свой первый воздушный бой, но счет сбитым фашистским самолетам был открыт несколько позже. 

26 июня 1941 года летчик Шевцов получил задание: найти вражеский аэродром. После того, как было установлено расположение немецкого аэродрома, он повернул на базу. Вдруг, на высоте четырех тысяч метров, под облаками, он заметил самолет, который определил как «Хейнкель-Ш Н», который использовался противником в качестве дальнего разведчика. Самолет шел курсом на Ленинград. Но не дошел. Он был сбит внезапным ударом А.Г. Шевцова. Через три дня новая встреча. Шевцов и его ведомые столкнулись в воздухе с группой фашистских бомбардировщиков «Юнкерс-ВВА». Пара наших истребителей отважно ворвалась в бой. В результате, потеряв три машины, поспешно сбросив бомбовый груз на свои части, немцы быстро ретировались. 

Воздушные бои следовали без конца. С 22 июня 1941 года по март 1942 года Александр Григорьевич участвовал в боях за оборону Ленинграда. В августе-сентябре 1941 года ему приходилось подниматься в воздух и днем и ночью, прикрывая Ленинград от вражеских бомбардировщиков. За это время он произвел 220 боевых вылетов, участвовал в 47 воздушных боях, сбил 10 немецких самолетов и еще 6 вместе с другими летчиками. На земле уничтожил: 1 эшелон противника, 14 точек зенитной артиллерии, 35 автомашин, 2 склада и 2 бензоцистерны. 

Шел третий год войны. На личном счету капитана Шевцова уже числилось 15 сбитых самолетов. Но и самому Александру Григорьевичу пришлось дважды попасть в переделки. Один раз – вынужденная посадка, другой – прыжок с парашютом из горящего самолета, ранение, тыл. Поправив здоровье, он снова рвется на фронт.

Особую роль в его судьбе сыграла Курская битва. 13 июля 1943 года группа истребителей 171-го тульского истребительно-авиационного полка (315-я истребительно-авиационная дивизия, 15-я воздушная армия, Брянский фронт) под командованием А.Г. Шевцова на встречных курсах столкнулась с большой группой фашистских бомбардировщиков под прикрытием истребителей «Мессершмитт-109». Завязался неравный бой. В этом коротком, но тяжелом столкновении, группа Шевцова сбила около 10 самолетов противника, заставив остальных спасаться бегством. А личный счет нашего земляка вырос до 18 сбитых фашистов. 

За бесстрашие, отвагу, летное мастерство, проявленные в воздушных боях с немецкими захватчиками, капитану А.Г. Шевцову 8 сентября 1943 года было присвоено звание Героя Советского Союза. 

Потом он сражался в небе Украины, Прибалтики, участвовал во взятии Кенигсберга, сбив еще 5 самолетов врага. Командовал звеном, эскадрильей, группой, полком. За период Великой Отечественной войны совершил 540 боевых вылетов и сбил 23 фашистских самолета. 

После войны продолжил службу в армии. С 1946  по 1949 гг. учился в Военной академии им. М.В. Фрунзе: с 1954  по 1956 гг. – в Военной академии Генерального штаба Министерства обороны СССР. Командовал дивизией, корпусом. Был начальником Главного штаба, первым заместителем главкома ракетных войск стратегического назначения. Депутат Верховного Совета РСФСР 5-го созыва. 

Родина высоко оценила деятельность Александра Григорьевича, он был награжден: 3 орденами Ленина, 4 орденами Красного Знамени. Орденом Александра Невского, 2 орденами Отечественной войны I степени, 2 орденами Красной Звезды, орденом «За службу Родине в ВС СССР» 3 степени, медалью «Золотая Звезда» и другими медалями. 

С 1976 года генерал-полковник А.Г. Шевцов – в запасе. Жил в Москве. 

Скончался 23 апреля 1988 года.