Родился 16 августа 1922 года в селе Призначное (ныне Прохоровский район). Окончил 7 классов. Работал кузнецом-штамповщиком на Сталинградском тракторном заводе. 

В Красной Армии с мая 1942 года. В действующей армии с сентября 1942 года. 

Орденом Славы 3-й степени командир пулеметного расчета 89-го стрелкового полка (23-я стрелковая дивизия, 61-я армия, 1-й Белорусский фронт) старший сержант А.Е. Доманов награжден в 12.08.1944 года за подвиг у населенного пункта Шпиталь Брестской области; орденом Славы 2-й степени награжден 11.02.1945 года; орденом Славы 1-й степени А.Е. Доманов награжден 15.05.1946 года. Он награжден также орденом Отечественной войны 1-й степени, Красной Звезды, медалями. 

После демобилизации в 1948 году жил в городе Мариуполь. Работал старшим термистом на металлургическом комбинате.