Родился 1 сентября 1916 года в слободе Ракитное (ныне Ракитянский район). Окончил неполную среднюю школу и сельскохозяйственное училище, работал в колхозе, на заводе "Запорожсталь". 

В 1939 году был призван в Красную Армию. На фронтах Великой Отечественной войны с июня 1941 года. 

Наводчик 76-миллиметрового орудия отдельного артиллерийского дивизиона (5-я воздушно-десантная бригада, 3-й воздушно-десантный корпус, 40-я армия) ефрейтор Цыбулев А.И в сентябре 1941 года отличился в боях у хутора Крыжки Белопольского района Сумской области. В тяжелом бою он подбил 3 танка противника, при этом сам был ранен, но поля боя не покинул. 

20 ноября 1941 года Указом Президиума Верховного Совета СССР Цыбулеву А.И. присвоено звание Героя Советского Союза. Награжден орденами Ленина, Красной Звезды, медалями. 

Погиб в бою 27 августа 1944 года. В поселке Ракитное установлен бюст Героя, на здании литейного цеха завода "Запорожсталь" - мемориальная доска, а на месте подвига у хутора Крыжки - памятная плита.